viernes, 13 de febrero de 2015

INVENTARIOS

Los costos de inventario son los costos relacionados con el almacenamiento y el mantenimiento del inventario durante un determinado período de tiempo. Generalmente, los costos de inventario se describen como un porcentaje del valor de inventario (inventario promedio anual; es decir, para un minorista, el promedio de bienes comprados a sus proveedores durante un año) en base anualizada. Estos costos varían significativamente según el sector comercial, pero son siempre bastante altos. Normalmente, se acepta que los costos de almacenamiento por sí solos representen el 25 % del valor de inventario disponible.
Para los minoristas y los mayoristas, así como para los propietarios del comercio, el inventario es generalmente el mayor activo, así como el mayor generador de gastos. La evaluación de los costes de inventario es, por lo tanto, esencial, y tiene repercusiones en las finanzas de la compañía, así como en su gestión. Ayuda a las compañías a determinar cuánto beneficio pueden obtener del inventario, de qué modo pueden reducir los costes, dónde se pueden realizar cambios, qué proveedores o qué artículos se deben elegir, cómo se debe asignar el capital, etc.
Dificultades para evaluar correctamente los costes de inventario
Constantemente observamos que muchas compañías no saben con exactitud cuáles son los costes totales vinculados con su inventario. Lo que es peor, muchas compañías se apoyan en la falsa premisa de que una contabilidad regular les da una estima razonable de los costes de su inventario.

En primer lugar, la medición del coste de inventario es, en sí misma, un problema complicado. Existen varios sistemas alternativos de contabilidad de costes que pueden resultar válidos para algunos fines, al tiempo que resultan inadecuados o peligrosos para otros (cf. Edward A. Silver, David F. Pyke y Rein Peterson,). Además, no siempre es ni posible ni económico hacer un seguimiento de todos los costes, o dividirlos y asignarlos en forma adecuada. Para comenzar a evaluar los costes de inventario, es preciso entender que los números relevantes no siempre aparecen en los registros de contabilidad convencionales, y que, cuando parece que sí lo hacen, aún es preciso ser cuidadoso con el conjunto de reglas y las suposiciones que se utilizan para elaborar esos números. Por ejemplo, al momento de combinar los diferentes costes, es necesario asegurarse de que los elementos estén expresados en modo coherente como cifras antes de impuestos o cifras después de impuestos, pero no como una mezcla de ambas.

En segundo lugar, el verdadero coste de inventario simplemente implica muchos elementos y va más allá del coste de bienes vendidos o de materias primas. Enseguida vienen a la mente los gastos de gestión y de mantenimiento, pero no se termina allí. Hay que agregar a eso los seguros, los intereses, la merma, etc. La lista es bastante larga.  

Si bien intentaremos dar algunas estimas generales de algunos de estos, el lector deberá recordar que cada uno de estos costes directamente del sector comercial específico y de las políticas y las decisiones de gestión (ej.: la decisión de utilizar proveedores de servicios terceros o de aplicar una política de inventario justo a tiempo, etc.).
Categorización de costes de inventario
Una vez más, si bien en la literatura pueden hallarse muchos puntos comunes, las categorías y subcategorías de inventario fluctúan y se superponen, o se designan con nombres diferentes. No pretendemos exponer a continuación la clasificación correcta, sino simplemente una que, con suerte, pueda tener sentido (nuevamente, concentrándonos en el comercio) y pueda ser útil para que los encargados tengan una idea acabada de los costes del inventario.

Los costes de inventario se dividen en 3 categorías principales:
•Costes de ordenamiento (también llamados costes de preparación);
•Costes de almacenamiento (también llamados costes de tenencia);
•Costes de faltas de existencias (también llamados costes de escasez).


Definimos brevemente estos conceptos pero, entre esas tres categorías, los costes de almacenamiento se ganan casi toda nuestra atención.

Más detalles: Existen otras clasificaciones, algunas de ellas más relevantes para los fabricantes. Por ejemplo, Mary Lu Harding (ver Referencias nro. 1 más abajo) adopta una perspectiva diferente, con categorías como coste de no entrega, coste de no calidad, costes relacionados con el uso, etc., adecuadas principalmente para el procesamiento comercial de materias primas, y útiles para determinar cómo seleccionar a los proveedores de materias primas.
Costes de ordenamiento
El coste de ordenamiento (también llamado coste de preparación, en el sector de los fabricantes), o el coste de reabastecimiento de inventario, cubre la fricción creada por las órdenes mismas, es decir, los costes en que se incurre cada vez que se realiza una orden. Estos costes se pueden dividir en dos partes: •El coste del proceso de ordenamiento en sí mismo: puede considerarse un coste fijo, independiente de la cantidad de unidades ordenada. Generalmente incluye las tarifas de la realización de la orden y los costes administrativos relacionados con la facturación, la contabilidad o la comunicación. Para actividades comerciales grandes, en especial para los minoristas, esto puede reducirse al coste amortizado del sistema EDI (intercambio electrónico de datos), que permite reducir significativamente los costes del proceso de ordenamiento (a veces, de varias órdenes de magnitud).
•Los costes de logística entrante, relacionados con el transporte y la recepción (descarga e inspección). Esos costes son variables. Luego, el coste de envío del proveedor depende del volumen total ordenado, lo que a veces produce variaciones importantes en el coste por unidad de la orden.


No es fácil elaborar siquiera una estima aproximada del coste de ordenamiento, ya que incluye elementos que son específicos del sector comercial e incluso específicos del producto: los proveedores pueden ser locales o extranjeros, pueden tener reglas de entrega solo por palé en lugar de por unidad, o solo cuando se ordena una determinada cantidad de productos, y, además, pueden ofrecer descuentos por volumen, etc.

Existen formas de minimizar estos costes; más precisamente, de determinar la relación adecuada entre costes de almacenamiento y descuentos por volumen, equilibrando de este modo el coste de ordenar demasiado con el coste de ordenar demasiado poco (básicamente, un inventario más pequeño en general lleva a más órdenes, lo que se traduce en mayores costes de ordenamiento, pero también implica menos costes de almacenamiento). Esto generalmente se logra mediante el cálculo de la cantidad económica de la orden (EOQ). Sin entrar en detalles, agreguemos simplemente el siguiente recordatorio: si bien en la literatura aparece generalmente un modo clásico para calcular la EOQ con la fórmula Wilson, esta fórmula en particular —que data de 1913— es una solución poco eficaz para los minoristas, principalmente porque supone que el coste de ordenamiento es plano. No obstante, es posible determinar cantidades de orden óptimas elaborando una función de coste que tenga en cuenta descuentos por volumen, como se explica en nuestro artículo.
Costes de almacenamiento
Los costes de almacenamiento son esenciales para un punto de vista estático del inventario; es decir, al concentrarse en el impacto de tener más o menos inventario, independientemente del flujo de inventario.

Una vez más, la clasificación varía en la literatura; la categorización que proponemos es la siguiente:

•Costes de capital (o cargos financieros)
•Costes de espacio de almacenamiento
•Costes de servicios de inventario
•Costes de riesgo de inventario
Costes de capital
Es el componente más grande entre los costes de almacenamiento de inventario. Incluye todo lo relacionado con la inversión, los intereses sobre el capital de trabajo y el costo de oportunidad del dinero invertido en el inventario (en lugar de en títulos del tesoro, fondos de inversión, etc.). Determinar los costes de capital puede ser más o menos complicado según la actividad comercial. Es posible, no obstante, dar algunas reglas básicas: es importante entender cuál es la parte financiada externamente y cuál la parte financiada mediante flujo de caja interno; y es igual de importante evaluar el riesgo de inventario en la propia actividad.


sábado, 7 de febrero de 2015

FUNCIONES DE LOS INVENTARIOS

¿Qué son los inventarios?

El manejo de inventarios es una parte clave para el éxito de la gestión empresarial.
Se entiende por inventario los recursos materiales que tiene la empresa almacenados ya sea para ser utilizados en el proceso de producción como producto terminado. Pueden incluir: materias primas, partes, producto parcialmente terminado,  producto terminado, partes de reemplazo, herramientas, consumibles y bienes en tránsito a empresas o clientes.

La gestión de los inventarios  es una de las actividades clave de la dirección de las empresas industriales.  La optimización del nivel de inventarios es un tema que se ha estudiado a profundidad y sobre el cual existen muchos modelos.

FUNCIONES DE LOS INVENTARIOS

En realidad algunos inventarios son inevitables. Todo o cuando menos una parte del inventario de manufactura en proceso es inevitable. Al momento de llevar a cabo el recuento del inventario, parte de él estará en las máquinas otra parte estará en la fase de traslado de una máquina a otra, o en tránsito del almacén de materias primas a la línea de producción o de esta al almacén de artículos terminados. Si vamos a tener producción es inevitable tener inventarios en proceso. Sin embargo, frecuentemente podemos minimizar este inventario mediante una mejor programación de la producción, o bien mediante una organización más eficiente de la línea de producción, o bien mediante una organización más eficiente de la línea de producción. Como una alternativa, podríamos pensar en subcontratar parte del trabajo, de tal manera que la carga de llevar dicho inventario en proceso fuera para el subcontratista. En ocasiones conviene acumular inventario en proceso para evitar problemas relacionados con la programación y planeación de la producción. Si se trata de una política bien pensada, está bien; sin embargo frecuentemente resulta ser un camino fácil para obviar una tarea difícil.
El resto del inventario que se tenga en accesorios, materias primas, artículos en proceso y artículos terminados simplemente se mantiene por una razón básica. Principalmente se tiene inventarios porque nos permite realizar las funciones de compras, producción y ventas a distintos niveles.

¿Qué areas de la empresa participan en la gestión de inventarios?

Diversas áreas de la empresa participan en la gestión de inventarios. Por ejemplo el área financiera por un lado busca disminuir el volumen de inventarios, ya que se trata de material que tiene un costo poseer y almacenar. Tan solo el espacio que ocupa el inventario representa un costo para la empresa.  A eso se le debe sumar los costos de administración, seguros, protección, iluminación, limpieza, etc.
Por otro lado, hay razones financieras para  tener un volumen de inventarios más alto. Por ejemplo, cuando se compran lotes mayores es posible negociar mejor el precio de compra.  Desde el punto de vista de producción, es deseable siempre tener inventario disponible para la producción. Un alto en la producción por falta de materia prima es costoso y complicado. En algunos procesos industriales es sumamente caro parar la producción.  En otros procesos, por ejemplo en la industria del plástico, es indispensable que la materia prima siempre tenga la misma calidad. Por lo tanto el área de producción está interesada en adquirir la mayor cantidad de materia prima del mismo lote, de forma que sus propiedades sean uniformes.
Desde el punto de vista de ventas, es conveniente tener un inventario sobrado de producto terminado. De esa forma siempre habrá producto para vender.  Si se cierra una venta y no hay producto listo la venta se podría perder.
Para el área financiera no es deseable tener producto terminado sin vender. Es dinero en forma de producto almacenado que no está generando nada.
En resumen, la optimización del inventario es un proceso complicado multifactorial y cuyas principales variables no están en las manos de la empresa, ya que la demanda del producto no es totalmente previsible.

Funciones de los inventarios

La acumulación de inventarios en niveles más o menos altos es necesaria para que los sistemas de producción tengan un buen funcionamiento en la empresa.  Para ello es necesario conocer cómo funciona cada uno de los inventarios. 
Inventario de tránsito

Cuando el productor está separado de los proveedores y clientes de manera geográfica. El transporte de los productos es muy importante y se requiere de un tiempo preciso para ello, por eso debe de haber productos en almacén de los cuales se pueda disponer para reponer los que están por llegar a su destino. Como este proceso requiere de tiempo puede haber la posibilidad de los inventarios de tránsito tengan un volumen considerable. 
Inventario de seguridad

Al no cumplirse la mayoría de previsiones, las empresas buscan protegerse ante estas variaciones que se pueden presentar y que no se controlan por medio de inventarios. Estos inventarios que cubren riesgos son los inventarios de seguridad. 
Inventario de especulación

Se originan con tiempo ante una variación que se espera de la demanda en el suministro y sobre todo en el precio de una materia prima. La empresa crea estos inventarios adelantándose a los hechos. 
Inventarios estacionales

Las ventas de ciertos productos pueden presentar variaciones estacionales, es decir que solo en determinado tiempo del año se produce y se vende. Si los productos se pueden conservar en almacenaje para adelantarse a la demanda de necesidades se realizan los inventarios estacionales que ayudan  a contra restar la demanda que se pudiera presentar en un periodo del año. 
Inventarios de aislamiento 

En este caso si dos fases de la producción operan de tal manera que la primera proporciona algún componente a la segunda y si la primera tuviera algún  inconveniente pudiera afectar con parar la producción a la segunda. Para evitar esto se crea un inventario intermedio que pueda aislar los dos subsistemas de producción, de esta manera si el primero falla ya no perjudica al segundo que puede continuar con su producción sin problema. 

Las decisiones sobre los inventarios


La mayoría de las materias primas no siempre se encuentran disponibles de manera precisa o inmediata, por lo que si el plazo de entrega  o fabricación excede el tiempo en el que la empresa se ha comprometido a entregar el producto, no quedará más que adquirir las materias primas antes de que se pueda predecir la cantidad y precisar el producto. 
La Previsión de inventarios

La previsión de inventarios consiste en tratar de estimar la demanda del producto terminado, tal que los inventarios sean suficientes para atender dicha demanda.
Cuando se realiza una previsión de las necesidades regularmente se corren dos riesgos: 
• Incurrir en una previsión por exceso (invirtiendo en exceso con el riesgo financiero y el del deterioro de la mercancía  entre otros)
• Incurrir en una previsión por defecto (pérdida de la imagen comercial del producto por falta del mismo, pérdida del cliente, entre otros).
Las técnicas de la previsión se clasifican en dos grupos: 
1. Análisis de series temporales. La historia pasada sirve como modelo de lo que puede esperarse en el futuro, se apoya en usar la estadística para analizar la estructura  que se tiene a partir de lo que se ha observado del pasado, con proyección al futuro. 
2. Previsión de la demanda. Se basa en la previsión de la demanda por medio de variables que se relacionan con el producto, tanto dentro como fuera de la empresa.. 
Para que se dé el éxito en la gestión del manejo de inventarios es muy importante la unificación entre las diferentes áreas de la empresa, marketing, comercial, finanzas, producción, compras. 

viernes, 6 de febrero de 2015

EL DUAL DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL Y SU RELACION CON EL PROBLEMA PRIMAL

Cada uno de los problemas abordados hasta entonces en los módulos anteriores se consideran problemas primales dado que tienen una relación directa con la necesidad del planteamiento, y sus resultados responden a la formulación del problema original; sin embargo cada vez que se plantea y resuelve un problema lineal, existe otro problema ínsitamente planteado y que puede ser resuelto, es el considerado problema dual, el cual tiene unas importantes relaciones y propiedades respecto al problema primal que pueden ser de gran beneficio para la toma de decisiones.
Relaciones entre problemas primales y duales
 
  • El número de variables que presenta el problema dual se ve determinado por el número de restricciones que presenta el problema primal.
  • El número de restricciones que presenta el problema dual se ve determinado por el número de variables que presenta el problema primal.
  • Los coeficientes de la función objetivo en el problema dual corresponden a los términos independientes de las restricciones (RHS), que se ubican del otro lado de las variables.
  • Los términos independientes de las restricciones (RHS) en el problema dual corresponden a los coeficientes de la función objetivo en el problema primal.
  • La matriz que determina los coeficientes técnicos de cada variable en cada restricción corresponde a la transpuesta de la matriz de coeficientes técnicos del problema primal.
El sentido de las igualdades y desigualdades se comporta según la tabla de TUCKER, presentada a continuación.
Dualidad en programación lineal
Tabla de TUCKER

IMPORTANCIA DE LA DUALIDAD EN PROGRAMACIÓN LINEAL


La resolución de los problemas duales respecto a los primales se justifica dada la facilidad que se presenta dados problemas donde el número de restricciones supere al número de variables. Además de tener gran aplicación en el análisis económico del problema.
 
Otra de las ventajas que presenta es que dado a que el número de restricciones y variables entre problema dual y primal es inverso, se pueden resolver gráficamente problemas que presenten dos restricciones sin importar el número de variables.


RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DUAL, PASO A PASO


El siguiente problema a resolver es hasta el momento el modelo más completo de los resueltos en los módulos anteriores, dado que trataremos de resolver un problema primal y su dual mediante Método Simplex utilizando variables de holgura, exceso y artificiales; además resolveremos el primal utilizando Simplex maximizando y el dual minimizando.
 
Dado el siguiente modelo primal,
 
ZMAX = 40X1 + 18X2
 
16X1 + 2X2 700
6X1 + 3X2 612
X1 80
X2   120
Dualidad lineal
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Cuya respuesta es
 
X1 = 28,75
X2 = 120
S1 = 79.5
S3 = 51.25
 
Función objetivo = 3310
 
Procedemos  a resolver el problema dual

PASO 1: Definimos el problema dual

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Este paso se lleva a cabo teniendo en cuenta las relaciones que se expusieron en la definición de la dualidad. Ahora las variables en el dual las representaremos por "ʎ" y corresponden a cada restricción.
 
El modelo queda de la siguiente forma:
 
ZMIN = 700ʎ1 + 612ʎ2 + 80ʎ3 + 120ʎ4
 
16ʎ1 + 6ʎ2 + ʎ3 40
2ʎ1 + 3ʎ2 + ʎ4 18
ʎ1;ʎ4 0
 
Ahora preparamos el modelo para ser resuelto mediante Método Simplex, utilizaremos el procedimiento en el cual la función objetivo es multiplicada por (-1) y resolveremos el modelo mediante maximización.
 
ZMIN = 700ʎ1 + 612ʎ2 + 80ʎ3 + 120ʎ4            
 
Lo que es igual
 
(-Z)MAX = -700ʎ1 - 612ʎ2 - 80ʎ3 - 120ʎ4
 
Ahora dado que los signos de las inecuaciones son mayor o igual procedemos a volverlas ecuaciones agregando variables de exceso, recordemos que en este caso las variables de exceso se restan del lado izquierdo de la igualdad, por ende.
 
16ʎ1    + 6ʎ2   + ʎ3     + 0ʎ4   - 1S1    + 0S2  = 40
21ʎ1    + 3ʎ2   + 0ʎ3   + ʎ4     + 0S1   - 1S2   = 18
ʎ1;ʎ4 0
 
Recordemos que el Método Simplex solo es posible por la formación de la matriz identidad, sin embargo en una matriz identidad no pueden ir coeficientes negativos, el cual es el caso, por ende recurriremos al artificio denominado "Método de la M grande" utilizando variables artificiales, las cuales siempre se suman.
 
16ʎ1    + 6ʎ2   + ʎ3     + 0ʎ4   - 1S1    + 0S2   + 1A1  + 0A2   40
21ʎ1    + 3ʎ2   + 0ʎ3   + ʎ4     + 0S1   - 1S2    + 0A1  + 1A2   18
ʎ1;ʎ4 0
 
Ahora si observamos la matriz identidad formada por las variables artificiales, nuestra función objetivo es la siguiente (varía dada la incorporación de las nuevas variables).
 
(-Z)MAX = -700ʎ1 - 612ʎ2 - 80ʎ3 - 120ʎ4 + 0S1 + 0S2 - MA1 - MA2
 
Recordemos que el coeficiente de las variables de holgura y exceso es 0, además que los coeficientes de las variables artificiales es M, donde M corresponde a un número grande poco atractivo cuyo signo en la función objetivo depende del criterio de la misma, dado que la función es maximizar el signo es negativo. Dado que utilizaremos el Método Simplex y no un software para la resolución del modelo es necesario que M adquiera valor, en este caso será "-10000" un número bastante grande en el problema.
 
Las iteraciones que utiliza el Método Simplex son las siguientes:
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Podemos observar que todos los Cj - Zj son menores o iguales a 0, por ende hemos llegado a la solución óptima del problema, sin embargo recordemos que la función objetivo fue alterada en su signo al principio, por ende se hace necesario regresarle su signo original a Zj y a la fila Cj - Zj.
 
(-Z)max = -3310   *           (-1)
Zmax = 3310
 
Podemos cotejar con la función objetivo del modelo primal y encontraremos que hallamos el mismo resultado.
 
Ahora se hace necesario interpretar los resultados de la tabla dual respecto al modelo primal, y esta interpretación se realiza siguiendo los siguientes principios.
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La interpretación del tabulado final del modelo dual es la siguiente:
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TEOREMAS DE LA DUALIDAD EN PROGRAMACIÓN LINEAL


  1. Si el modelo primal o dual tiene solución óptima finita entonces su respectivo dual o primal tendrán solución óptima finita.
  2. Si el modelo primal o dual tiene solución óptima no acotada, entonces su respectivo dual o primal no tendrán solución, será un modelo infactible.
  3. Si el modelo primal o dual no tiene solución entonces su respectivo dual o primal no tendrán solución.
  4. Sea "A" un modelo primal cuyo modelo dual es "B", el modelo dual de "B" es igual a "A", es decir "El modelo dual de un dual es un modelo primal".

PROBLEMAS DE MAXIMIZACION Y MINIMIZACION

Vamos a aprender a crear y resolver un ejercicio del siguiente tipo (más complicados que este sin duda que también):
Un carpintero tiene que construir mesas rectangulares cuyos lados no sobrepasen 2  metros y tales que la suma de su lado mayor y el doble de la menor no sobrepase 4  metros. ¿Cuál es el máximo valor del perímetro de dichas mesas?
En este tipo de problemas, aparece cierta cantidad que se ha de maximizar (también podría ser minimizar, pero no es este el caso). En este ejemplo es el perímetro de las mesas, que está sujeto a ciertas restricciones. La función a maximizar ( minimizar ) se lama función objetivo. El valor máximo (o mínimo) de la función objetivo se halla en los bordes de la zona factible delimitada por las restricciones del problema. A este valor se le llama el valor óptimo.
Veamos cómo expresar el problema del ejemplo matemáticamente:
Igual que en el primer nivel, lo primero a identificar son las variables o incógnitas. En este caso serán el lado largo de la mesa (al que llamaremos x  ) y el lado corto de la mesa (al que llamaremos y  ).
Identificamos la función objetivo. ¿Qué se nos pide maximizar/minimizar? y ¿Cómo se expresa esta cantidad en función de las variables del problema?
En nuestro caso se nos pide maximizar el perímetro (al que llamaremos P  ) de las mesas. El perímetro se puede expresar como función de las variables del problema (lado largo y lado corto), ya que es directamente la suma del doble de cada lado. Matemáticamente:
P(x,y)=2x+2y 


Escribimos las restricciones como inecuaciones. Estas restricciones son:
  • Los lados no pueden ser de más de dos metros (ni de menos de cero, ya que no tendría sentido):
    x0x2y0y2 

  • La suma del lado mayor y el doble de la menor no ha de sobrepasar los 4  metros:
    x+2y4 

Identificamos la región de validez definida por las restricciones y calculamos los vértices de dicha región. Las rectas asociadas a las restricciones son:
  • x=0  y x=2  , que son rectas paralelas al eje y  , que pasan por x=0  y x=2  respectivamente. Las desigualdades de que provienen definen una franjade soluciones factibles entre x=0  y x=2  .
  • y=0  y y=2  , que son rectas paralelas al eje x  , que pasan por y=0  y y=2  respectivamente. Las desigualdades de que provienen definen una franjade soluciones factibles entre y=0  y y=2  .
  • y=12 x+2  , cuya zona de validez está por debajo de la recta (se puede ver comprobando que el punto (0,0)  , que está por debajo de la recta, cumple la inecuación x+2y4  ).
imagen
Los vértices de la región de validez se calculan como en el nivel anterior: viendo en qué puntos se cortan las rectas definidas por las restricciones y luego seleccionar de estos puntos los que cumplen todas las inecuaciones. Haciendo esto vemos que los vertices de la región de validez tienen por coordenadas:
  • (0,0)  donde cortan x=0  e y=0  .
  • (2,0)  donde cortan x=2  e y=0  .
  • (2,1)  donde cortan x=2  e y=12 x+2  .
  • (0,2)  donde cortan x=0  e y=12 x+2  .
El último paso es calcular el valor de la función objetivo en los vértices de la región de validez, para ver cual de los puntos maximiza el perímetro de las mesas.
  • P(0,0)=20+20=0 
  • P(2,0)=22+20=4 
  • P(2,1)=22+21=6 
  • P(0,2)=20+22=4 
Vemos que el perímetro se maximiza en el punto (2,0)  . La función perímetro toma allí su valor óptimo, que es 6  metros. Las coordenadas del punto nos están diciendo que maximizará el perímetro haciendo mesas de lado largo (x  ) de 2  metros y lado corto (y  ) de 1  metro. Ya hemos resuelto el primer problema completo de programación lineal.
Otros ejemplos:

Ejemplo

Los 400  alumnos de un colegio van a ir de excursión. Para ello se contrata el viaje a una empresa que dispone de 8  autobuses del tipo A con 40  plazas y 10  del tipo B con 50  plazas, pero sólo de 9  conductores para ese día. Dada la diferente capacidad y calidad, el alquiler de cada autobús de los grandes (tipo B) cuesta 80  € y el de cada uno de los pequeños (tipo A), 60  €. ¿Cuántos autobuses de cada clase convendrá alquilar para que el viaje resulte lo más económico posible?
Primero identificamos las variables. En este caso serán el número de autobuses del tipo A (al que llamaremos x  ) y el número de autobuses del tipo B (al que llamaremos y  ). La función objetivo es el precio y se ha de minimizar. El precio en función de las variables del problema será la suma de lo que vale un autobús del tipo A (a 60  €) multiplicado por el número de autobuses del tipo A que se alquilan más lo mismo, pero de los autobuses tipo B (a 80  €). Es decir, el precio será:
P(x,y)=60x+80y 

Las restricciones del problema en forma de inecuaciones:
  • x0  , y0  (por lógica, no podemos alquilar un número negativo de autobuses).
  • x8  (sólo hay 8  autobuses del tipo A).
  • y10  (sólo hay 10  autobuses del tipo B).
  • x+y9  (sólo hay 9  conductores).
  • 40x+50y400  (queremos que el número total de plazas de autobús sea disponibles sea como mínimo igual al número de alumnos).
Buscamos las rectas asociadas a las inecuaciones, las zonas de validez de cada inecuación y la zona factible común a todas las restricciones.
Y la zona factible queda:
imagen
El siguiente paso es calcular los vértices de la región de validez. En este caso son:
(0,8)(0,9)(5,4) 

La función objetivo (el precio) toma los siguientes valores en los vértices de la región de soluciones factibles:
  • P(0,8)=600+808=640 
  • P(0,9)=600+809=720 
  • P(5,4)=605+804=620 
como queremos minimizar el precio, el punto que queremos es el (5,4)  y el precio toma el valor de 620  €. Por lo tanto, minimizaremos el precio si se alquilan 5  autobuses del tipo A (x  ) y 4  autobuses del tipo B (y  ) y todo saldrá por 620  €.
En resumen, en todo problema de programación lineal tendremos que seguir los mismos pasos:
  1. Elegir las variables del problema.
  2. Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.
  3. Escribir las restricciones en forma de inecuaciones.
  4. Determinar la región factible que indican las restricciones.
  5. Calcular las coordenadas de los vértices de la región de soluciones factibles.
  6. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál de ellos presenta el malor máximo o mínimo, según nos pida el problema.