METODO ALGEBRAICO

MÉTODO ALGEBRAICO

Permite la solución de un problema de programación lineal cuando es necesario resolver casos de “n” variables y se trabaja con espacios n-dimensionales.

• Los espacios vectoriales no tienen limite en cuanto al número de variables.

Para efectos de representación del problema, se parte de los siguientes supuestos:

• El número de incógnitas es n

• El número de restricciones es m

Por lo anterior, la función objetivo se representa de la siguiente forma:

Z=C1X1+C2X2+…+CnXn

Donde: C1, C2…, Cn son los coeficientes de las incógnitas y por lo tanto datos conocidos. 

Como se tienen m desigualdades es necesario agregar (m) variables de holgura, las cuales deben agregarse a la función objetivo.

Planteamiento del problema

1) Max U= 120 x1 + 100 x2

  x1; producir M1

  x2; producir M2

2) T; 2x1 + 1x2 ≤90

3) R; 1x1 + 2x2 ≤ 80

4) C; 1x1 + 1x2 ≤ 50

Restricciones de no negatividad

x1≥0  x2 ≥0

Es necesario transformar las inecuaciones en igualdades. Tomando la inecuación del primer componente se le añade una variable de holgura cuyo valor se desconoce.

Las variables de holgura pueden interpretarse como el saldo de inventario del componente, su coeficiente de transformación es 1 y cero en la función objetivo.

Este paso debe hacerse en todas las inecuaciones.

Añadir variables de holgura:

12) T; 2x1 + 1x2 + x3 =90

13) R; 1x1 + 2x2         + x4 = 80

14) C; 1x1 + 1x2                  + x5 = 50

11) Max U= 120 x1 + 100 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5

Se debe despejar de cada una de las ecuaciones las variables de holgura y el sistema adquiere la siguiente forma:

22) x3 =90  - 2x1 - 1x2

23) x4 = 80 - 1x1 - 2x2        

24) x5 = 50 - 1x1 - 1x2                 

21) Max U= 120 x1 + 100 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5

En donde:

X1=0  x3=90

X2=0  x4=80

  x5=50

Evaluar a x1 de 22) para obtener la función de producción de M1 y debe dar la producción 32)

22)   x3 =90  - 2x1 - 1x2

       2x1 =90 - 1x2 -  x3

          x1 = 90/2 - 1/2 x2 – 1/2x3

32)    x1 = 45 - 1/2 x2 – 1/2x3

Sustituir la función de producción 32) en 23) para obtener 33)

23)   x4 = 80 - 1x1 - 2x2        

         x4 = 80 – 1(45 - 1/2 x2 – 1/2x3) - 2x2        

         x4 = 80 – 45 + 1/2 x2 + 1/2x3 - 2x2        

33)   x4 = 35 - 3/2 x2 + 1/2x3

Sustituir  32) en 24) para obtener 34)

24)   x5 = 50 - 1x1 - 1x2 

  x5 = 50 – 1(45 - 1/2 x2 – 1/2x3) - 1x2 

  x5 = 50 – 45 + 1/2 x2 + 1/2x3 - 1x2 

34)  x5 = 5 - 1/2 x2 + 1/2x3 

Sustituir 32) en 21) para obtener 31)

21) Max U= 120 x1 + 100 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5

       U= 120 (45 - 1/2 x2 – 1/2x3) + 100 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5

       U= 5400 - 60 x2 – 60x3+ 100 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5

31) U= 5400 + 40 x2 – 60x3+ 0 x4 + 0 x5

Interpretación numérica

Max U= 5400 por la producción de x1

x1 = 45

x2= 0

x3= 0

x4= 35

x5= 5 

Evaluar a x2 de:

32)    x1 = 45 - 1/2 x2 – 1/2x3

   1/2 x2 =45

          x2 =45(2)/1

          x2 =90/1 = 90

33)   x4 = 35 - 3/2 x2 + 1/2x3

   3/2 x2 = 35

           x2 = 35 (2)/3

           x2 = 70/3 = 23.33

34)  x5 = 5 - 1/2 x2 + 1/2x3 

  1/2 x2 = 5

         x2 = 5 (2)/1

         x2 = 10/1 = 10 

Despejar a x2 de 34) para obtener 44)

34)  x5 = 5 - 1/2 x2 + 1/2x3 

   1/2 x2 = 5 +1/2x3  - x5

          x2 = (5 +1/2x3  - x5 ) 1/2

44)          x2 = 10 +x3 - 2x5

Sustituir x2=44) en 32) para obtener 42)

32)      x1 = 45 - 1/2 x2 – 1/2x3

  x1 = 45 - 1/2 (10 +x3 - 2x5 ) – 1/2x3

  x1 = 45 - 5 -1/2x3 +1x5 – 1/2x3

42)  x1 = 40 -x3 +1x5

Sustituir x2=44) en 33 para obtener 43)

33)   x4 = 35 - 3/2 x2 + 1/2x3

  x4 = 35 - 3/2 (10 +x3 - 2x5 ) + 1/2x3

  x4 = 35 - 15 -3/2x3 + 3x5  + 1/2x3

43)   x4 = 20 -1x3 + 3x5

Sustituir x2=44 en 31) para obtener 41)

31)   U= 5400 + 40 x2 – 60x3+ 0 x4 + 0 x5

U= 5400 + 40 (10 +x3 - 2x5 ) – 60x3+ 0 x4 + 0 x5

U= 5400 + 400 + 40x3 - 80x5 – 60x3+ 0 x4 + 0 x5

U= 5800 – 20x3+ 0 x4 + 0 x5

Interpretación numérica

Max U= 5800 por la producción de x1

x1 = 40

x2= 10

x3= 0

x4= 20

x5= 0